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Black-Scholes-Modell

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Das Original: Gabler Banklexikon

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    Ausführliche Definition

    Black-Scholes-Merton-Modell; 1. Begriff: Optionspreisbewertungsmodell zur Ermittlung des Fair Value von europäischen Optionen auf Aktien oder Aktienindizes (z.B. Optionen auf den DAX), das 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert C. Merton konzipiert wurde.

    2. Berechnung: Die folgenden Formeln sind jeweils für den Fall stetiger Verzinsung notiert. Betrachtet man dagegen Zinsfaktoren für den Fall diskreter Verzinsung, so sind die Formeln geeignet anzupassen.
    a) Fair Value eines europäischen Calls:

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5DPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+UzwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+TjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1zdWI+CjxtaT5kPC9taT4KPG1uPjE8L21uPgo8L21zdWI+CjwvbWZlbmNlZD4KPG1vPi08L21vPgo8bWk+WDwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+ZTwvbWk+CjxtaT54PC9taT4KPG1pPnA8L21pPgo8bWZlbmNlZCBjbG9zZT0iKSIgb3Blbj0iKCI+Cjxtcm93Pgo8bW8+LTwvbW8+CjxtaT5yPC9taT4KPG1vPuKLhTwvbW8+CjxtaT50PC9taT4KPC9tcm93Pgo8L21mZW5jZWQ+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+TjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1zdWI+CjxtaT5kPC9taT4KPG1uPjI8L21uPgo8L21zdWI+CjwvbWZlbmNlZD4KPC9tYXRoPgo=

    wobei:
    C = Kurs der Call Option (Optionsprämie)
    S = Kurs des Basiswertes
    X = Basispreis
    exp = Exponentialfunktion
    r = auf der Basis stetiger Verzinsung berechneter annualisierter Zins
    σ = Volatilität
    t = Restlaufzeit der Option
    ln = Logarithmus naturalis

    N (d) = Funktionswert der kumulativen Normalverteilung an der Stelle d,wobei gilt

    MathML (base64):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

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4yPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+PTwvbW8+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4xPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+LTwvbW8+CjxtaT7PgzwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bXNxcnQ+CjxtaT50PC9taT4KPC9tc3FydD4KPC9tYXRoPgo=

    Alternativ kann für d1geschrieben werden:

    MathML (base64):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

    Im Gegensatz zur obigen Formel wird bei dieser Darstellung der Basispreis der Option abgezinst. N(d1) entspricht dem Delta (Delta-Faktor) einer Option. Mit dieser Formel können nicht nur europäische Call-Optionen bewertet werden, sondern auch amerikanische Call-Optionen, die keine Dividendenzahlungen haben. Da amerikanische Kaufoptionen während der Laufzeit immer eine Zeitprämie haben, würde man sich bei vorzeitiger Ausübung immer schlechter stellen. Diese Situation entspricht der von europäischen Calls. Das zusätzliche Recht der vorzeitigen Ausübung ist damit wertlos und amerikanische Kaufoptionen ohne Dividendenzahlungen können deshalb mit dem Black-Scholes-Modell bewertet werden.
    b) Fair Value einer europäischen Put-Option:

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5QPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+UzwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+TjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1yb3c+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4xPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+LTwvbW8+Cjxtbj4xPC9tbj4KPC9tcm93Pgo8L21mZW5jZWQ+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPlg8L21pPgo8bW8+4ouFPC9tbz4KPG1pPmU8L21pPgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT5wPC9taT4KPG1mZW5jZWQgY2xvc2U9IikiIG9wZW49IigiPgo8bXJvdz4KPG1vPi08L21vPgo8bWk+cjwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+dDwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tZmVuY2VkPgo8bW8+4ouFPC9tbz4KPG1pPk48L21pPgo8bWZlbmNlZCBjbG9zZT0iKSIgb3Blbj0iKCI+Cjxtcm93Pgo8bXN1Yj4KPG1pPmQ8L21pPgo8bW4+MjwvbW4+CjwvbXN1Yj4KPG1vPi08L21vPgo8bW4+MTwvbW4+CjwvbXJvdz4KPC9tZmVuY2VkPgo8L21hdGg+Cg==

    wobei P = Kurs der Put-Option (Optionsprämie) und alle weiteren Symbole wie oben. Die Bewertung einer Put-Option kann auch durch Verwendung der Put-Call-Parität erfolgen. Für den Preis europäischer Optionen gleichen Typs gilt die folgende Parität:

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5QPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+QzwvbWk+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPlM8L21pPgo8bW8+KzwvbW8+CjxtaT5YPC9taT4KPG1vPuKLhTwvbW8+CjxtaT5lPC9taT4KPG1pPng8L21pPgo8bWk+cDwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1yb3c+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPnI8L21pPgo8bW8+4ouFPC9tbz4KPG1pPnQ8L21pPgo8L21yb3c+CjwvbWZlbmNlZD4KPC9tYXRoPgo=

     



    3. Folgende Prämissen liegen dem Black-Scholes-Modell zugrunde:
    Es handelt sich um eine europäische Option.
    Während der Laufzeit der Option dürfen keine Ausschüttungen erfolgen.
    Es existieren keine Transaktionskosten und Steuern und keine Marktzutrittsbeschränkungen, d.h. der Kapitalmarkt ist vollkommen und vollständig. Damit kann das Hedgeportefeuille kontinuierlich gebildet werden und es existiert ein konstanter Kalkulationsszinssatz.
    Die logarithmierten Aktienrenditen unterliegen einer Normalverteilung. 
    Die Momentanvarianz der Kursrenditen ist konstant.

    4. Sonderfälle:
    a) Bei einer Volatilität von null vereinfacht sich die Call-Gleichung wie folgt, da sowohl N(d1) als auch N(d2) den Wert 1 haben:

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5DPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+UzwvbWk+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPlg8L21pPgo8bW8+4ouFPC9tbz4KPG1pPmU8L21pPgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT5wPC9taT4KPG1mZW5jZWQgY2xvc2U9IikiIG9wZW49IigiPgo8bXJvdz4KPG1vPi08L21vPgo8bWk+cjwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+dDwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tZmVuY2VkPgo8L21hdGg+Cg==


    b) Werden entgegen der Prämisse Dividenden ausgeschüttet (Black'sche Korrektur), verringert sich der Fair Value der Call-Option, da der Optionshalter im Gegensatz zum Aktionär keine Dividende erhält. Erfolgen während der Laufzeit einer Option Dividendenzahlungen, führt dies zu Kursabschlägen beim Aktienkurs. Dies bedeutet einen Nachteil für die Long-Position eines Call. Andererseits profitiert eine Put-Option von niedrigeren Aktienkursen, sodass der Fair Value einer Put-Option steigt. Im Fall einer ungeschützten Option, d.h. der Optionsinhaber erhält keine Kompensation, muss die Black-Scholes-Formel deshalb modifiziert werden (Black'sche Korrektur). Bei einer geschützten Option erhält der Optionshaber eine Kompensation. Der Basispreis kann hierbei beispielsweise um die Dividendenhöhe verringert werden. Deshalb brauchen Dividendenzahlungen beim Black-Scholes-Modell nicht berücksichtigt zu werden. Die Tabelle Black-Scholes-Modell - Fair Value von Optionen zeigt, für welche Fälle mit dem Black-Scholes-Modell der Fair Value von Optionen ermittelt werden kann. Das Black-Scholes-Modell ist die Basis für das Black-Modell, das zur Bewertung von Optionen auf Futures konzipiert wurde, und wird nicht nur zur Bewertung von europäischen Aktienoptionen, sondern auch zur Ermittlung des Fair Value von Optionsscheinen auf Aktien verwendet. Modifikationen des Black-Scholes-Modells werden u.a. auch zur Bewertung von Devisenoptionen (Garman-Kohlhagen-Modell) verwendet.

    Vgl. auch Cox-Ross-Rubinstein-Modell.

     

    Mindmap Black-Scholes-Modell Quelle: https://www.gabler-banklexikon.de/definition/black-scholes-modell-56342 node56342 Black-Scholes-Modell node60746 Put-Call-Parität node56342->node60746 node62374 Volatilität node56342->node62374 node59908 Modified Duration node59555 Law of one ... node59555->node60746 node99516 Skew-Trading node99516->node60746 node59680 Long-Position node60746->node59680 node61867 Theta node61867->node56342 node62187 Vega node58519 Greeks node58519->node56342 node58519->node61867 node58519->node62187 node56919 Delta node58519->node56919 node62379 Volatilitätsstrategien node62379->node62374 node58773 implizite Volatilität node58773->node56342 node58703 historische Volatilität node58773->node58703 node71038 Volatility Smile node58773->node71038 node99531 Volatility Surface node58773->node99531 node62374->node59908 node62374->node58773 node62374->node58703 node99541 Moneyness node99541->node56342 node99541->node58773 node99541->node56919 node99541->node71038 node99541->node99531 node99520 Risk Reversal node99520->node58773
    Mindmap Black-Scholes-Modell Quelle: https://www.gabler-banklexikon.de/definition/black-scholes-modell-56342 node56342 Black-Scholes-Modell node62374 Volatilität node56342->node62374 node60746 Put-Call-Parität node56342->node60746 node58773 implizite Volatilität node58773->node56342 node99541 Moneyness node99541->node56342 node58519 Greeks node58519->node56342

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