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Black-Modell

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Das Original: Gabler Banklexikon

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    Ausführliche Definition

    1. Begriff: Variante des Black-Scholes-Modells, das 1976 von Fischer Black für Optionen auf Futures entwickelt wurde. Das Black-Modell wird fälschlicherweise oft modifiziertes Black-Scholes-Modell bezeichnet.

    2. Bedeutung: Das Black-Modell kann sowohl für Optionen auf Futures mit Future-Style-Verfahren als auch für Optionen mit Stock-Style-Verfahren angewendet werden. Bei Optionen mit Future-Style-Verfahren wird der risikolose Zinssatz auf null gesetzt (modifiziertes Black-Modell). Darüber hinaus eignet sich das Black-Modell auch für das Pricing von OTC-Optionen auf langlaufende Straight Bonds (z.B. Bundesanleihen).

    3. Berechnung:
    a) Fair Value eines europäischen Calls mit Stock-Style-Verfahren bzw. einer europäischen OTC-Call-Option (Zinsoption) mit stetiger Verzinsung:

    MathML (base64):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

    wobei:
    C = Kurs der Call Option (Optionsprämie)
    F = Kurs des Basiswertes (z.B. Euro-Bund-Future)
    X = Basispreis
    exp = Exponentialfunktion
    r = auf der Basis stetiger Verzinsung berechneter annualisierter Zins
    σ = Volatilität
    t = Restlaufzeit der Option
    ln = Logarithmus naturalis

    N(d) = Funktionswert der kumulativen Normalverteilung an der Stelle d, wobei gilt:

    MathML (base64):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

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4yPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+PTwvbW8+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4xPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+LTwvbW8+CjxtaT7PgzwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bXNxcnQ+CjxtaT50PC9taT4KPC9tc3FydD4KPC9tYXRoPgo=


    b) Fair Value eines europäischen Puts mit Stock-Style-Verfahren bzw. einer europäischen OTC-Put Option (Zinsoption):

    MathML (base64):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

    wobei P = Kurs der Put Option und alle weiteren Symbole wie oben unter a). Bei OTC-Optionen auf Anleihen ist anstelle des aktuellen Futurekurses der Terminkurs der Anleihe in die Formel einzusetzen.

    c) Fair Value eines europäischen Calls mit Future-Style-Verfahren; dieser kann mit folgender modifizierter Black-Formel ermittelt werden (im Vergleich zu obiger Formel wurde nur r auf null gesetzt, damit wird der Wert exp(-rt) = 1):

    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5DPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+RjwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+TjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1zdWI+CjxtaT5kPC9taT4KPG1uPjE8L21uPgo8L21zdWI+CjwvbWZlbmNlZD4KPG1vPi08L21vPgo8bWk+WDwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+TjwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1zdWI+CjxtaT5kPC9taT4KPG1uPjI8L21uPgo8L21zdWI+CjwvbWZlbmNlZD4KPC9tYXRoPgo=


    d) Fair Value einer Put Option mit Future-Style-Verfahren:

    MathML (base64):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



    Vgl. auch Cox-Ross-Rubinstein-Modell.

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