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Kovarianz

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Das Original: Gabler Banklexikon

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    Ausführliche Definition

    1. Begriff und Einordnung: statistische Maßgröße zur Quantifizierung der Korrelation zweier Zufallsvariablen bzw. quantitativer Merkmale (Zusammenhangs-/Korrelationsmaß). Hiermit können ausschließlich monotone, im Idealfall lineare Zusammenhänge erfasst werden. In der modernen Portfolio-Theorie wird damit die Art des Zusammenhangs, nämlich eine gleichläufige (positive Korrelation) oder aber gegenläufige (negative Korrelation) Entwicklung der Rendite zweier Anlagen/Wertpapiere beschrieben.

    2. Berechnung: durchschnittliches Produkt aller Abweichungen zweier Zufallsvariablen von ihrem jeweiligen Erwartungswert (theoretische Kovarianz σ12) bzw. der beobachteten Wertepaare zweier Merkmale in einer Stichprobe von ihrem jeweiligen Mittelwert (empirische Kovarianz). Sind (xi, yi) mit i = 1, ... ,n die n beobachteten Wertepaare zweier Merkmale, so ergibt sich speziell deren (erwartungstreue) Stichprobenkovarianz s12 aus der Schätzfunktion

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    wobei MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eDwvbWk+Cjxtbz7CrzwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K und MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtb3ZlciBhY2NlbnQ9InRydWUiPgo8bWk+eTwvbWk+Cjxtbz7CrzwvbW8+CjwvbW92ZXI+CjwvbWF0aD4K die beiden arithmetischen Mittel sind. Vgl. zum Divisor (n–1) die Ausführungen zur Varianz. Die Varianz selbst stellt sich vor diesem Hintergrund als spezielle Kovarianz mit x = y dar, d.h. die Varianz ist die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst, während umgekehrt die Kovarianz als Verallgemeinerung der Varianz verstanden werden kann.

    3. Interpretation: Eine hohe positive Kovarianz zeigt an, dass die Variable y tendenziell dann eine hohe Ausprägung annimmt, wenn dies auch für die Variable x zutrifft und umgekehrt. Bei der Kovarianz handelt es sich allerdings um ein nichtnormiertes Zusammenhangsmaß – der Wertebereich ist nach oben und unten unbegrenzt –, so dass über die Stärke des Zusammenhangs keine Aussage getroffen werden kann; hierfür bedarf es einer Normierung, wie sie insbesondere bei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten durch Standardisierung vorgenommen wird. Weiterhin gilt: Gibt es keinen Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen, sind diese also stochastisch unabhängig voneinander, beträgt die Kovarianz Null; der Umkehrschluss ist allerdings nicht zulässig, weil Abhängigkeiten bestehen können, die die Kovarianz rechnerisch nicht erfassen kann.

    Mindmap Kovarianz Quelle: https://www.gabler-banklexikon.de/definition/kovarianz-81599 node81599 Kovarianz node59349 Korrelation node81599->node59349 node59350 Korrelationskoeffizient node81599->node59350 node60568 Portfolio-Theorie node81599->node60568 node60910 Rendite node81599->node60910 node62180 Varianz node60569 Portfolio-Theorie Modellbeurteilung node60569->node59349 node59349->node59350 node61267 Semistandardabweichung node59765 Markt-Modell node59765->node59350 node59350->node61267 node61268 Semivarianz node59798 Mean-LPM-Approach node59798->node81599 node59798->node62180 node59798->node61268 node56573 Capital Asset Pricing ... node59798->node56573 node99178 Lower Partial Moments node59798->node99178 node60969 Return on Investment ... node60969->node60910 node61219 Schuldverschreibung node61219->node60910 node56573->node59350 node56573->node60568 node56573->node60910 node57803 Faktormodelle node57803->node60568 node99178->node60568 node59908 Modified Duration node59908->node60568 node59908->node60910 node70409 Autokorrelation node70409->node59349
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