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Varianz

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    Ausführliche Definition

    1. Begriff: Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, genauer: Moment einer Zufallsvariablen (theoretische Varianz, im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) oder Kennzahl einer Stichprobe (empirische Varianz, im Sinne der deskriptiven Statistik), mit dem die Breite der Verteilung bzw. die Streuung der Stichprobe gemessen werden kann (Streuungsmaß); in einem dritten Verständnis spricht man von der Stichprobenvarianz (im Sinne der induktiven Statistik) als Schätzfunktion für die theoretische Varianz.

    2. Berechnung: durchschnittliches Quadrat aller Abweichungen einer Zufallsvariablen vom Erwartungswert (theoretische Varianz) bzw. der Beobachtungswerte einer Stichprobe von ihrem Mittelwert (empirische Varianz). Speziell die theoretische Varianz wird – unter Hinzuziehung von Wahrscheinlichkeiten – häufig auch als Erwartungswert der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert, also als zweites zentrales Moment, ermittelt. Der Wert der Varianz ist immer größer oder gleich null. Sind die Werte einer Zufallsvariablen bzw. die Beobachtungswerte gleich groß, ist die Varianz null. Im Gegensatz zur Varianz werden bei der Semivarianz entweder nur die positiven oder nur die negativen Abweichungen vom Erwartungs- bzw. Mittelwert berücksichtigt. Speziell eine (erwartungstreue) Stichprobenvarianz s² ergibt sich aus der Schätzfunktion

    MathML (base64):PG1hdGggbWF0aHNpemU9IjIwIj4KICAgIDxtc3VwPgogICAgICAgIDxtaT5TPC9taT4KICAgICAgICA8bW4+MjwvbW4+CiAgICA8L21zdXA+CiAgICA8bW8+PTwvbW8+CiAgICA8bW4+MTwvbW4+CiAgICA8bW8+LzwvbW8+CiAgICA8bWZlbmNlZD4KICAgICAgICA8bXJvdz4KICAgICAgICAgICAgPG1pPm48L21pPgogICAgICAgICAgICA8bW8+LTwvbW8+CiAgICAgICAgICAgIDxtbj4xPC9tbj4KICAgICAgICA8L21yb3c+CiAgICA8L21mZW5jZWQ+CiAgICA8bW8+JiN4Qjc7PC9tbz4KICAgIDxtdW5kZXJvdmVyPgogICAgICAgIDxtbz4mI3gyMjExOzwvbW8+CiAgICAgICAgPG1yb3c+CiAgICAgICAgICAgIDxtaT5pPC9taT4KICAgICAgICAgICAgPG1vPj08L21vPgogICAgICAgICAgICA8bW4+MTwvbW4+CiAgICAgICAgPC9tcm93PgogICAgICAgIDxtaT5uPC9taT4KICAgIDwvbXVuZGVyb3Zlcj4KICAgIDxtc3VwPgogICAgICAgIDxtZmVuY2VkPgogICAgICAgICAgICA8bXJvdz4KICAgICAgICAgICAgICAgIDxtc3ViPgogICAgICAgICAgICAgICAgICAgIDxtaT54PC9taT4KICAgICAgICAgICAgICAgICAgICA8bWk+aTwvbWk+CiAgICAgICAgICAgICAgICA8L21zdWI+CiAgICAgICAgICAgICAgICA8bW8+LTwvbW8+CiAgICAgICAgICAgICAgICA8bW92ZXI+CiAgICAgICAgICAgICAgICAgICAgPG1pPng8L21pPgogICAgICAgICAgICAgICAgICAgIDxtbz4mI3gyMDNFOzwvbW8+CiAgICAgICAgICAgICAgICA8L21vdmVyPgogICAgICAgICAgICA8L21yb3c+CiAgICAgICAgPC9tZmVuY2VkPgogICAgICAgIDxtbj4yPC9tbj4KICAgIDwvbXN1cD4KPC9tYXRoPg==

    wobei:
    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT54PC9taT4KPC9tYXRoPgo= = arithmetisches Mittel
    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT5pPC9taT4KPC9tc3ViPgo8L21hdGg+Cg=== Beobachtungswerte
    MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5uPC9taT4KPC9tYXRoPgo= = Anzahl der Werte.

    Hiermit soll die theoretische Varianz (oder auch die Varianz der Grundgesamtheit) geschätzt werden, die in der Literatur – in Anlehnung an den entsprechenden Parameter einer Normalverteilung – üblicherweise mit σ2 gekennzeichnet wird. Der Divisor (n–1) – anstelle von n (bei der empirischen Varianz) – beruht darauf, dass annahmegemäß zusammen mit der Varianz auch der Erwartungswert als Mittelwert aus der gleichen Stichprobe gewonnen werden muss und nicht etwa gegeben ist. Es lässt sich statistisch zeigen, dass dadurch bei einem Divisor n die Varianz systematisch nach unten verzerrt würde; bei einem großen Stichprobenumfang fällt dieser Unterschied naturgemäß weniger stark ins Gewicht (sog. asymptotische Erwartungstreue).

    3. Bedeutung in der modernen Portfolio-Theorie: Die Varianz wird in der Portfolio-Theorie und Asset Allocation als Risikomaß zur Quantifizierung des Risikos im Sinne einer Abweichung von einer erwarteten/geplanten (Erfolgs-)Größe verwendet. Dies gilt sowohl auf der Ebene der Einzelanlagen als auch und vor allem im Portfoliozusammenhang (Varianz der Portefeuille-Rendite). Je größer die Varianz ist, als desto größer wird das Risiko – im Sinne eines Gesamtrisikos – angesehen. Dabei wurde dieses Risikomaß von Markowitz ursprünglich nur zur Quantifizierung des Risikos von Aktien(-portefeuilles) vorgeschlagen.

    Vgl. auch Standardabweichung, Dispersion, Mean-Variance-Approach und speziell zur Konvexität der Varianz Varianzswap, Ziff. 3.

    Mindmap Varianz Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-62180 node62180 Varianz node99178 Lower Partial Moments node99178->node62180 node61267 Semistandardabweichung node99178->node61267 node61538 Standardabweichung node99178->node61538 node61267->node62180 node61267->node61538 node61268 Semivarianz node61267->node61268 node61306 Shortfall-Risiko node61306->node99178 node61538->node62180 node61268->node62180 node61268->node99178 node58703 historische Volatilität node58703->node61538 node70422 Roy-Kriterium node70422->node62180 node70422->node61306 node61307 Shortfall Threshold Level node70422->node61307 node60565 Portfolio Selection node70422->node60565 node59798 Mean-LPM-Approach node59798->node62180 node59798->node61268
    Mindmap Varianz Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/varianz-62180 node62180 Varianz node61538 Standardabweichung node62180->node61538 node61268 Semivarianz node62180->node61268 node99178 Lower Partial Moments node99178->node62180 node61267 Semistandardabweichung node61267->node62180 node70422 Roy-Kriterium node70422->node62180

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