Volatility Surface

1. Begriff: Volatilitätsoberfläche; sie bildet in dreidimensionaler Weise die impliziten Volatilitäten von Optionen/Optionsscheinen gleichzeitig in Abhängigkeit von deren Basispreis und deren Restlaufzeit ab, zeigt uns also gleichzeitig die auf den Basispreis bezogene (vertikale) und die auf die Restlaufzeit bezogene (horizontale) Volatilitätsstruktur. Aus vertikalen und horizontalen Schnitten durch die Volatility Surface wird der Volatility Smile oder (vertical) Skew bzw. die Zeitstruktur der impliziten Volatilität ersichtlich.

2. Lokale Volatilität: Weiterhin lässt sich aus den impliziten Volatilitäten für eine bestimmte Restlaufzeit und einen bestimmten Basispreis (wiederum implizit) auf die sog. lokalen Volatilitäten zu einem bestimmten Zeitpunkt und auf einem bestimmten (Aktien-, Wechsel- etc.)Kursniveau schließen, nämlich dort, wo die jeweilige Option exakt bei Fälligkeit at-the-Money ist. Inhaltlich läuft dies darauf hinaus, In-the-Money- (Out-of-the-money-)Calls gleichsam als "hohe (niedrige) (z.B.) Aktienkurs-Optionen" zu interpretien (Puts umgekehrt) – und analog langlaufende (kurzlaufende) gleichsam als "früh (spät) erworbene Optionen". Damit wird davon ausgegangen, dass die beobachtbare Volatility Surface auf den "am Markt" erwarteten zukünftigen lokalen Volatilitäten beruht, die gleichfalls in einer (nun) "Local Volatility Surface" abgebildet werden können. Diese Logik entspricht im übrigen exakt der Ableitung einer Forward Yield Curve aus den beobachtbaren Kursen von Straight Bonds (vorzugsweise "on the run") auf dem Gebiet festverzinslicher Wertpapiere.

3. Volatility Skew und Antizyklik der impliziten Volatilität: Dies wirft u.a. ein neues Licht auf die (auf Skew-Märkten) empirisch regelmäßig zu beobachtende antizyklische Entwicklung des Kurses, genauer: der Rendite eines Basiswertes und dessen impliziter Volatilität (vgl. dazu Delta, Ziff. 4): Die vertikale Volatilitätsstruktur sagt zwar erwartungsgemäß nichts unmittelbar über die Kurserwartungen der Marktteilnehmer aus, aber sie lässt uns – mit Blick auf die lokale Volatilität – wissen, ob diese bspw. für den Fall von rückläufigen Kursen Volatilitätssteigerungen oder -senkungen erwarten. Vor diesem Hintergrund impliziert der auf Aktien-, Aktienindex- und korrespondierenden Futures-Optionsmärkten typische Reverse Volatility Skew folgendes: Eine hohe implizite Volatilität für einen In-the-Money-Call und einen Out-of-the-money-Put zu fordern oder zu bezahlen, heißt zu glauben, dass die Volatilität steigt, wenn der In-the-Money-Call bzw. der Out-of-the-money-Put zu At-the-Money-Optionen werden, und dies ist jeweils bei Kurssenkungen der Fall. Dabei können sich diese bedingten Erwartungen zum einen – über Leverage-, Risikoprämien(schwankungs)- und/oder Volatility-Feedback-Effekte – auf die tatsächliche Volatilität beziehen und zum anderen wiederum auf die implizite Volatilität selbst: entweder auf die "Durchsetzung" verfestigter Vorstellungen über einen Volatility Smile und insbesondere Volatility Skew – mit der Fährnis einer "Self-Fulfilling Prophecy" (technische Analyse); vgl. auch Volatilitätsindex, Ziff. 3.d)) – oder eben doch als Ausdruck bestimmter Kurserwartungen zum Underlying, wie sie besonders deutlich am Risk Reversal im OTC-Devisenhandel abgelesen werden können, in dem kein struktureller Skew herrscht. Auf allen anderen Märkten müsste für die Extraktion solcher "directional"-Informationen über die vom Optionsmarkt erwarteten Kursbewegungen im Underlying die impliziten Volatilitäten um die systematisch strukturprägenden Einflussgrößen bereinigt werden – wahrlich keine einfache Aufgabe.

4. Von der Volatilitätsoberfläche zu einer einheitlichen Theorie der impliziten Volatilität: Führt man diese Überlegungen mit den Kerngedanken zur Zeitstruktur der impliziten Volatilität zusammen, lassen sich ausgehend von dem Konzept der lokalen Volatilität die stilisierten Fakten zur Struktur der impliziten Volatilität möglicherweise in einheitlicher Form erklären: So wie der Volatility Cone die Mean Reversion der impliziten Volatilität als spezielle Zeitabhängigkeit zum Ausdruck bringt, zeigt der Volatility Skew die Antizyklik von impliziter Volatilität und Underlying als spezielle Kursabhängigkeit. Hierbei passt ins Bild, dass einerseits sowohl die Antizyklik in negativen Marktphasen stärker ausgeprägt ist als in positiven Marktphasen und andererseits die Neigung des Skew links vom At-the-Money-Bereich steiler ausfällt als rechts davon. In der Tat sind abnehmende implizite Volatilitäten bei Kursrückgängen so gut wie nie zu beobachten, während ansteigende implizite Volatilitäten insbesondere in einem "Boom" vorkommen können, sei es dass das "Platzen einer Blase" befürchtet wird (Nachfrage nach Puts) oder dass "Kaufpanik" ausbricht, wie z.B. am Neuen Markt 1997/98 (Nachfrage nach Calls). Die implizite Volatilität ist jedenfalls keineswegs ein "Krisen-", sondern vielmehr ein "Angstbarometer".

Es erscheint plausibel, dass die Antizyklik von impliziter Volatilität und Underlying darauf zurückgreift, dass die Marktteilnehmer in Seitwärtsmärkten Mean-Reversion-Erwartungen für das Underlying (dass also im Aufschwung bereits der nächste Abschwung erwartet wird) hegen, und die – mittelfristigere – Mean Reversion der impliziten Volatilität darauf, dass sich in den Augen der Marktteilnehmer ein Trendmarkt (Trendkanal, Trendlinien) im Underlying etabliert hat (Wirkungsrichtung: Eine negative Autokorrelation der impliziten Volatilität i.V. mit der Antizyklik bedeutet eine positive Autokorrelation der Renditen des Underlying). Verlaufen implizite Volatilität und Underlying (wie beschrieben, nur bei Aufwärtstrends) prozyklisch, muss der Blick auf die Richtung der Konversionsarbitrage gerichtet werden, indem sich in fortgeschrittenen Marktphasen neuerlich eine Mean-Reversion-Erwartung (Drift-korrigiert) für das Underlying etabliert, etwa weil im Sinne der neueren HAMs-Modelle (Heterogeneous Agents Models) die "Fundamentalisten" gegenüber den "Chartisten" früher oder später wieder die Oberhand gewinnen dürften. Damit prägen nun Downside-Absicherung und Baisse-Spekulation den Optionsmarkt, die im Wege des Erwerbs von Puts umgesetzt werden (vgl. dazu Volatility Skew, Ziff. 2); für diese kehrt sich die Mean-Reversion-Argumentation exakt um, die impliziten Volatilitäten steigen also weiter an oder verharren zumindest auf einem relativ hohen Niveau. Auch die o.g. Wirkungsrichtung hat sich umgekehrt, d.h. geht nun vom Underlying aus, weil für die Bewertung der Puts die Put-Call-Parität "zwischengeschaltet" wird (Black-Scholes-Modell, Ziff. 2.b): Die Black-Scholes-implizite Volatilität steigt an, weil die Black-Scholes-Bewertungsgleichung den Wert von Optionen bei positiver Autokorrelation der Renditen unterschätzt. Für die Aktienkursprognose ergibt sich daraus: Je stärker sich eine prozyklische Entwicklung von Kurs und implizier Volatilität ausprägt, desto fortgeschrittener ist ein Trendmarkt in den Augen der Marktteilnehmer; die damit einhergehende Richtungsänderung der Konversionsarbitrage macht deutlich, dass ein Crash am Optionsmarkt immer "doppelt" so stark ausfallen muss wie am Aktienmarkt.

5. Einordnung der einheitlichen Theorie unter Berücksichtigung von marktphasenabhängigen Kursänderungserwartungen: Von der untersuchungsleitenden Idee her ist die vorgetragene Modellskizze mit den modernen Regime-Switching-Modellen der Optionsbewertung verwandt; der Aufbau ist indes ein anderer: Im Unterschied zu diesen bleiben Switchingkosten bzw. -risiken ausgespart, dafür wird das Switching selbst endogenisiert. Was die stilisierten Fakten angeht, ergibt sich, dass durch den "Umkehreffekt" der Konversionsarbitrage der Volatility Skew nicht nur existiert — was allein schon auf "Modellfehler" (vgl. implizite Volatilität, Ziff. 3) bei der Optionsbewertung im Geiste von Black/Scholes hindeutet — sondern auch noch nachhaltiger ist bzw. steiler verläuft als es die Antizyklik von impliziter Volatilität und Underlying erwarten lassen würde. Das bedeutet nichts anderes, als dass auch neuere Optionsbewertungsmodelle unter Berücksichtigung stochastischer oder deterministisch veränderlicher Volatilität das Phänomen nicht vollinhaltlich erklären können. Dabei kann die fehlende Berücksichtigung von Kursänderungserwartungen in den genannten Modellen (letztlich durch Abhängigkeit von der sog. risikoneutrale Bewertung) eine Rolle spielen; dies könnte umso mehr für die Put-Call-Parität sprechen, so dass die Umkehrung der Konversionsarbitrage als Noise interpretiert werden kann, aber eben nur aus Sicht der genannten Modelle.

Vgl. Volatility Skew, Ziff. 2 a.E., und Volatility Smirk, Ziff. 4 a.E.