Korrelationskoeffizient

1. Begriff und Einordnung: statistische Maßgröße zur Quantifizierung der Korrelation zweier Zufallsvariablen bzw. quantitativer Merkmale (Zusammenhangs-/Korrelationsmaß). In der modernen Portfolio-Theorie lässt sich damit über die Art des Zusammenhangs, nämlich eine gleichläufige (positive Korrelation) oder aber gegenläufige (negative Korrelation) Entwicklung der Rendite zweier Anlagen/Wertpapiere, hinaus auch die Stärke dieses Zusammenhangs beschreiben. Derartige Aussagen können allerdings lediglich über lineare Zusammenhänge getroffen werden.

2. Berechnung: Ausgangspunkt für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten, genauer: des Maßkorrelationskoeffizienten nach Bravais/Pearson, ist immer die Kovarianz (σ₁₂), die das durchschnittliche Produkt aller Abweichungen zweier Zufallsvariablen von ihrem jeweiligen Erwartungswert beschreibt (theoretische Form); es handelt sich also um eine sog. "Produkt-Moment-Korrelation". Diese unanschauliche, weil absolute Größe kann auf unterschiedliche Weise normiert werden, z.B. durch Bezugnahme auf das Produkt der beiden Erwartungswerte, woraus sich der sog. Kovariationskoeffizient (als Verallgemeinerung des Variationskoeffizienten) ergibt; es hat sich allerdings weithin durchgesetzt, die Normierung durch Standardisierung, d.h. (hier) Bezugnahme auf das Produkt der beiden Standardabweichungen (σ₁·σ₂) vorzunehmen, wodurch die Kovarianz zu einem anschaulichen, weil relativen (dimensionslosen) Gleichlaufmaß umgeformt wird:

Dementsprechend gilt auch: σ₁₂ = ρ · σ₁·σ₂. Dieser Korrelationskoeffizient, der in der Literatur üblicherweise mit dem Buchstaben Rho (ρ) gekennzeichnet wird, ist auf einen Wertebereich von -1 bis +1 normiert und damit leichter interpretierbar.

3. Interpretation: Im Unterschied zur Kovarianz wird insbesondere auch das Ausmaß des Gleichlaufs durch die Lage des Korrelationskoeffizienten innerhalb dieses Wertebereichs unmittelbar erkennbar. So besteht bei einem Wert von +1  (-1) ein vollständig positiver (negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen. Jenseits dieser Extremwerte darf aber die Aussagekraft allein des Korrelationskoeffizienten nicht überschätzt werden: Zum einen handelt es sich um ein ordinal- und nicht etwa intervallskaliertes Merkmal; das bedeutet, dass z.B. eine Erhöhung des Korrelationskoeffizienten von +0,6 auf +0,8 eine stärkere Verbesserung des Erklärungsbeitrages der einen für die andere Merkmalsausprägung bedeutet als eine solche von +0,2 auf +0,4. Genaueren Aufschluss gibt hier die Inspektion des Bestimmtheitsmaßes als Quadrat (R²) des (Bravais/Pearson-)Korrelationskoeffizienten. Zum anderen hängt die Aussagekraft eines empirisch gewonnenen Korrelationskoeffizienten je nach (absoluter) Höhe in unterschiedlichem Maße von der Größe der Stichprobe ab: Hohe Korrelationskoeffizienten sind bereits bei kleinen Stichproben statistisch signifikant, niedrige erst bei großen Stichproben. Mit anderen Worten: Je größer die Stichprobe und je höher das Signifikanzniveau, desto niedriger darf der Absolutbetrag des Korrelationskoeffizienten sein, um zu einer Aussage zu berechtigen, zwischen den beiden Merkmalen gebe es einen linearen Zusammenhang.